Alexey Tatarintsev wurde in der Region Tambow in Russland geboren. Er studierte zunächst Chordirektion an der Tambov State Derzhavin University bevor er 2003 in die Gesangsabteilung der Victor-Popov-Akademie für Chorkunst in Moskau eintrat. 2009 schloss er sein Aufbaustudium an der Akademie ab.
Seit 2008 ist er Solist am Novaya Opera Theatre in Moskau. 2010 debütierte er am Bolschoi-Theater als Yasha in der Uraufführung von Fenelons Oper «The Cherry Orchard». Mit Yashas Rolle debütierte er zudem 2011 an der Opéra National de Paris. Er ist regelmässiger Gast am Bolschoi-Theater in Moskau und am Mariinsky-Theater in Sankt Petersburg. Er trat als Lensky am Teatro Regio in Turin auf, als Duca und Alfredo an der Palm Beach Opera und als Duca an der Malmö Opera. 2019 sang er Donizettis Requiem im Palast der Künste (MüPa) Budapest und trat mit dem l' Orchestre national d'Île-de-France (Verdis Requiem) im Schloss von Versailles auf.
Er arbeitet mit dem Sretensky-Klosterchor zusammen und tourte mit ihm 2008 in Rio de Janeiro, Sao Paulo, Buenos Aires, Asunción und Havanna. Eine weitere Tournee fand 2012 in den USA statt, wo er mit dem Chor in den renommiertesten Konzertsälen auftrat, wie der Library of Congress und dem Kennedy Center in Washington DC, der Carnegie Hall in New York City oder der Chicago Orchestra Hall.
2016 wurde Alexey Tatarintsev für sein Rolle als Roméo in Gounods Oper «Roméo et Juliette» mit der goldenen Maske, dem wichtigsten russischen Theaterpreis, ausgezeichnet. Zudem erhielt er im selben Jahr den Onegin-Preis für seine Leistung als Rudolfo in Puccinis Oper «La Bohème».
Alexey Tatarintsev trägt den Titel «Verdienter Künstler der Republik Nordossetien-Alanien», welche im Nordkaukasus liegt und seit 1991 eine Republik innerhalb der Russischen Föderation ist. Zudem ist er mehrfacher Preisträger internationaler Wettbewerbe wie der Galina Vishnevskaya Competition und des Luciano Pavarotti-Wettbewerbs.
Im Herbst 2022 wird der Opern- und Konzertsänger Alexey Tatarintsev im Rahmen der Obrasso Concerts die Messa da Requiem von Giuseppe Verdi im KKL Luzern aufführen.